定义 $g(n)$ 为自然数 $n$ 中所有因数中的最大奇数，求 $M(n)=g(1)+g(2)+\cdots+g\left(2^n-1\right)$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 13\cdot 4^n-\dfrac 13$
【解析】
注意到 $g(2n)=g(n)$，记\[S_n=g(1)+g(2)+\cdots+g\left(2^n-1\right)+g\left(2^n\right),\]则当 $n\geqslant 2$ 时，有\[\begin{split}
S_n&=g(1)+g(3)+\cdots+g\left(2^n-1\right)+\left[g(2)+g(4)+\cdots+g\left(2^n\right)\right]\\
&=1+3+\cdots+\left(2^n-1\right)+\left[g(1)+g(2)+\cdots+g\left(2^{n-1}\right)\right]\\
&=2^{2n-2}+S_{n-1},
\end{split}\]而 $S_1=2$，于是\[\begin{split}S_n&=2+2^2+2^4+2^6+\cdots+2^{2n-2}\\ &=2+\dfrac 43\left(4^{n-1}-1\right),\end{split}\]进而可得\[M(n)=S_n-1=\dfrac 13\cdot 4^n-\dfrac 13.\]
S_n&=g(1)+g(3)+\cdots+g\left(2^n-1\right)+\left[g(2)+g(4)+\cdots+g\left(2^n\right)\right]\\
&=1+3+\cdots+\left(2^n-1\right)+\left[g(1)+g(2)+\cdots+g\left(2^{n-1}\right)\right]\\
&=2^{2n-2}+S_{n-1},
\end{split}\]而 $S_1=2$，于是\[\begin{split}S_n&=2+2^2+2^4+2^6+\cdots+2^{2n-2}\\ &=2+\dfrac 43\left(4^{n-1}-1\right),\end{split}\]进而可得\[M(n)=S_n-1=\dfrac 13\cdot 4^n-\dfrac 13.\]
答案
解析
备注
