已知 $a,b\in \mathbb R$ 且 $0\leqslant a+b\leqslant 1$，函数 $f(x)=x^2+ax+b$ 在区间 $\left[-\dfrac 12,0\right]$ 上至少存在一个零点，求 $a-2b$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$[0,1]$
【解析】
考虑到 $f(1)=1+a+b$，而\[f\left(-\dfrac 12\right)=\dfrac 14-\dfrac 12(a-2b),\]因此问题可以转化为函数 $y=x^2+ax+b$ 的图象和线段 $AB$ 和线段 $OC$ 都有公共点，求 $f\left(-\dfrac 12\right)$ 的取值范围，其中 $A(1,1)$，$B(1,2)$，$C\left(-\dfrac 12,0\right)$．
如图．
由图可知 $f\left(-\dfrac 12\right)$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$，因此可得 $a-2b$ 的取值范围是 $[0,1]$，证明如下．
情形一 当 $(a,b)=(1,0)$ 时，$f(0)=0$，此时$$a-2b=1.$$当 $(a,b)=(0,0)$ 时，$f(0)=0$，此时$$a-2b=0.$$结合连续性可知 $a-2b$ 可以取遍 $[0,1]$ 内的所有实数．
情形二 若 $a-2b>1$，则$$a-2b>a+b,$$从而 $b<0$，进而 $a>1$．
此时\[\begin{aligned}
f\left(-\dfrac 12\right)&=\dfrac 14-\dfrac 12(a-2b)<0,\\
f(0)&=b<0,
\end{aligned}\]因此函数 $f(x)$ 在 $\left[-\dfrac 12,0\right]$ 上没有零点，不符合题意．
情形三 若 $a-2b<0$，则$$a-2b<a+b,$$从而 $b>0$，$a<1$．
此时 $f(x)$ 的判别式\[\Delta=a^2-4b,\]当 $0<a<1$ 时，有 $a^2<a$，所以$$\Delta <a-4b<a-2b<0,$$函数 $f(x)$ 在 $\left[-\dfrac 12,0\right]$ 上没有零点，不符合题意．
当 $a\leqslant 0$ 时，$f(x)$ 的对称轴 $x=-\dfrac a2\geqslant 0$，又 $f(0)=b>0$，所以 $f(x)$ 在 $\left[-\dfrac 12,0\right]$ 上没有零点，不符合题意．
综上所述，$a-2b$ 的取值范围是 $[0,1]$．
如图．
由图可知 $f\left(-\dfrac 12\right)$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 14,\dfrac 14\right]$，因此可得 $a-2b$ 的取值范围是 $[0,1]$，证明如下．此时\[\begin{aligned}
f\left(-\dfrac 12\right)&=\dfrac 14-\dfrac 12(a-2b)<0,\\
f(0)&=b<0,
\end{aligned}\]因此函数 $f(x)$ 在 $\left[-\dfrac 12,0\right]$ 上没有零点，不符合题意．
此时 $f(x)$ 的判别式\[\Delta=a^2-4b,\]当 $0<a<1$ 时，有 $a^2<a$，所以$$\Delta <a-4b<a-2b<0,$$函数 $f(x)$ 在 $\left[-\dfrac 12,0\right]$ 上没有零点，不符合题意．
当 $a\leqslant 0$ 时，$f(x)$ 的对称轴 $x=-\dfrac a2\geqslant 0$，又 $f(0)=b>0$，所以 $f(x)$ 在 $\left[-\dfrac 12,0\right]$ 上没有零点，不符合题意．
综上所述，$a-2b$ 的取值范围是 $[0,1]$．
答案
解析
备注
