题目 已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{a^2 }+\dfrac{y^2}{b^2 }=1\left(a>b>0\right) $ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{ 2} $，其短轴的下端点在抛物线 $x^2=4y $ 的准线上．设 $ O$ 为坐标原点，$ M$ 是直线 $l:x=2 $ 上的动点，$ F$ 为椭圆的右焦点，过点 $F $ 作 $OM $ 的垂线与以 $OM $ 为直径的圆 $C_2 $ 相交于 $P$，$Q $ 两点，与椭圆 $C_1 $ 相交于 $ A$，$B$ 两点，如图所示．<br><img src="/static/images/d756f061e97755746fab3653cb88121c.png" class="img-responsive" /> 问题1 求椭圆 $C_1 $ 的方程． 答案1 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 解析1 由题意得$$\begin{cases}\dfrac ca=\dfrac{\sqrt 2}{2},\\b=1,\end{cases}$$又 $a^2=b^2+c^2$，所以解得 $a=\sqrt 2$，$b=1$．<br/>故椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$． 备注1 问题2 若 $\left|PQ\right|=\sqrt{6} $，求圆 $C_2 $ 的方程； 答案2 $(x-1)^2+(y\pm 1)^2=2$ 解析2 设点 $M(2,2m)$，则直线 $PQ$ 的方程为 $x+my-1=0$，圆心 $(1,m)$ 到直线 $PQ$ 的距离$$d=\dfrac{|1+m^2-1|}{\sqrt{1+m^2}}=\dfrac {m^2}{\sqrt{1+m^2}},$$于是由弦心距，半弦长与半径得到的三角形三边关系满足$$\dfrac {m^4}{1+m^2}+\left(\dfrac {\sqrt 6}{2}\right)^2=1+m^2,$$解得 $m^2=1$，所以 $m=\pm 1$，从而圆 $C_2$ 的方程为\[(x-1)^2+(y\pm 1)^2=2.\] 备注2 问题3 设 $C_2 $ 与四边形 $OAMB $ 的面积分别为 $S_1,S_2 $，若 $S_1=\lambda S_2 $，求 $\lambda $ 的取值范围． 答案3 $\left[\dfrac{\sqrt 2}2\pi,+\infty\right)$ 解析3 因为$$S_1=\pi(1+m^2), S_2=\dfrac 12\cdot|OM|\cdot|AB|=\sqrt{1+m^2}|AB|,$$联立直线 $PQ$ 与椭圆的方程消去 $x$ 得$$(m^2+2)y^2-2my-1=0,$$于是有$$|AB|=\sqrt{1+m^2}\cdot\dfrac{\sqrt{\Delta }}{m^2+2}=\dfrac {2\sqrt 2(m^2+1)}{m^2+2},$$于是$$\lambda=\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac {\sqrt 2}{4}\pi\cdot\sqrt{(m^2+1)+\dfrac 1{m^2+1}+2}\geqslant \dfrac {\sqrt 2}2\pi,$$当且仅当 $m=0$ 时等号成立．<br/>因此 $\lambda$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{\sqrt 2}2\pi,+\infty\right)$． 备注3