在椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上有一点 $ P $，椭圆内一点 $ Q $ 在 $ PF_2 $ 的延长线上，满足 $ QF_1\perp QP $，若 $ \sin\angle F_1PQ=\dfrac{5}{13} $，则该椭圆的离心率 $ e$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
设 $F_1F_2=2$，$\angle F_1F_2P$ 的外角为 $x$，则\[\arcsin\dfrac{5}{13}<x<\dfrac{\pi}2.\]此时\[\begin{split} 2a&=PF_1+PF_2\\
&=\dfrac{F_1F_2}{\sin\angle F_1PF_2}\cdot\left(\sin\angle PF_1F_2+\sin\angle PF_2F_1\right)\\
&=\dfrac{26}5\cdot \left(\sin \left(x-\arcsin\dfrac{5}{13}\right)+\sin x\right)\\
&=10\sin x-2\cos x,\end{split}\]而\[QF_1+QF_2<2a,\]于是\[2\sin x+2\cos x<10\sin x-2\cos x,\]即\[2\sin x-\cos x>0,\]从而\[x>\arctan\dfrac 12,\]因此 $2a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{6}{\sqrt 5},10\right)$，进而离心率 $e$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 15,\dfrac{\sqrt 5}3\right)$．
&=\dfrac{F_1F_2}{\sin\angle F_1PF_2}\cdot\left(\sin\angle PF_1F_2+\sin\angle PF_2F_1\right)\\
&=\dfrac{26}5\cdot \left(\sin \left(x-\arcsin\dfrac{5}{13}\right)+\sin x\right)\\
&=10\sin x-2\cos x,\end{split}\]而\[QF_1+QF_2<2a,\]于是\[2\sin x+2\cos x<10\sin x-2\cos x,\]即\[2\sin x-\cos x>0,\]从而\[x>\arctan\dfrac 12,\]因此 $2a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{6}{\sqrt 5},10\right)$，进而离心率 $e$ 的取值范围是 $\left(\dfrac 15,\dfrac{\sqrt 5}3\right)$．
题目
答案
解析
备注
