已知函数 $f(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}$（$x>0$）的图象恒在直线 $y=kx$ 下方，求 $k$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac 13,+\infty\right)$
【解析】
考虑函数\[\varphi(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}-kx,\]则 $\varphi(0)=0$，其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{2\cos x+1}{(2+\cos x)^2}-k,\]于是由 $\varphi'(0)=\dfrac 13-k$，可以得到讨论分界点 $\dfrac 13$．
情形一 $k\geqslant \dfrac 13$．
此时\[\varphi(x)\leqslant \dfrac{\sin x}{2+\cos x}-\dfrac 13x,\]右侧函数的导函数为\[\left.\varphi'(x)\right|_{k=\frac 13}=-\dfrac{(1-\cos x)^2}{3(2+\cos x)^2}\leqslant 0,\]于是 $\varphi(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，符合题意．
情形二 $k<\dfrac 13$．
考虑 $x$ 为锐角的情形，此时\[\begin{split}\varphi(x)&>\dfrac 13\sin x-kx\\ &>\dfrac 13\left(x-\dfrac{x^3}6\right)-kx\\ &=x\cdot \dfrac{(6-18k)-x^2}{18},\end{split}\]于是当 $0<x<\sqrt{6-18k}$ 时，$\varphi(x)>0$，不符合题意．
综上所述，$k$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 13,+\infty\right)$．
此时\[\varphi(x)\leqslant \dfrac{\sin x}{2+\cos x}-\dfrac 13x,\]右侧函数的导函数为\[\left.\varphi'(x)\right|_{k=\frac 13}=-\dfrac{(1-\cos x)^2}{3(2+\cos x)^2}\leqslant 0,\]于是 $\varphi(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，符合题意．
考虑 $x$ 为锐角的情形，此时\[\begin{split}\varphi(x)&>\dfrac 13\sin x-kx\\ &>\dfrac 13\left(x-\dfrac{x^3}6\right)-kx\\ &=x\cdot \dfrac{(6-18k)-x^2}{18},\end{split}\]于是当 $0<x<\sqrt{6-18k}$ 时，$\varphi(x)>0$，不符合题意．
综上所述，$k$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 13,+\infty\right)$．
答案
解析
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