已知 $\displaystyle \prod_{k=1}^{45}\csc^2 (2k-1)^\circ =m^n$，其中 $m,n\in\mathbb N^*$ 且 $m,n\geqslant 2$，求 $m+n$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$91$
【解析】
注意到三倍角公式\[\sin 3x=4\sin x\cdot \sin(60^\circ-x)\cdot \sin(60^\circ +x),\]记\[\sin x_1\cdot \sin x_2\cdots \sin x_n=(x_1,x_2,\cdots,x_n),\]则\[\begin{split}\prod_{k=1}^{45}\sin (2k-1)^\circ&=(1^\circ,3^\circ,5^\circ,\cdots,89^\circ)\\
&=(1^\circ,59^\circ,61^\circ)\cdot(3^\circ,57^\circ,63^\circ)\cdots (29^\circ,31^\circ,89^\circ)\\
&=2^{-30}\cdot (3^\circ,9^\circ,15^\circ,\cdots,87^\circ)\\
&=2^{-30}\cdot (3^\circ,57^\circ, 63^\circ)\cdot (9^\circ,51^\circ,69^\circ)\cdots(27^\circ,33^\circ,87^\circ)\\
&=2^{-30}\cdot 2^{-10}\cdot (9^\circ,27^\circ,45^\circ,63^\circ,81^\circ)\\
&=2^{-40}\cdot \sin 9^\circ\cdot \sin 27^\circ\cdot \sin 45^\circ\cdot \sin 63^\circ\cdot \sin 81^\circ\\
&=2^{-42}\cdot \sin 18^\circ\cdot \sin 54^\circ\cdot \dfrac{\sqrt 2}2\\
&=2^{-42\frac 12}\cos 36^\circ\cdot \cos 72^\circ\\
&=2^{-44\frac 12}
,\end{split}\]于是\[\prod_{k=1}^{45}\csc^2 (2k-1)^\circ =\dfrac{1}{\left[\prod_{k=1}^{45}\sin (2k-1)^\circ\right]^2}=2^{89},\]因此$$m=2,n=89,$$故 $m+n$ 的值为 $91$．
&=(1^\circ,59^\circ,61^\circ)\cdot(3^\circ,57^\circ,63^\circ)\cdots (29^\circ,31^\circ,89^\circ)\\
&=2^{-30}\cdot (3^\circ,9^\circ,15^\circ,\cdots,87^\circ)\\
&=2^{-30}\cdot (3^\circ,57^\circ, 63^\circ)\cdot (9^\circ,51^\circ,69^\circ)\cdots(27^\circ,33^\circ,87^\circ)\\
&=2^{-30}\cdot 2^{-10}\cdot (9^\circ,27^\circ,45^\circ,63^\circ,81^\circ)\\
&=2^{-40}\cdot \sin 9^\circ\cdot \sin 27^\circ\cdot \sin 45^\circ\cdot \sin 63^\circ\cdot \sin 81^\circ\\
&=2^{-42}\cdot \sin 18^\circ\cdot \sin 54^\circ\cdot \dfrac{\sqrt 2}2\\
&=2^{-42\frac 12}\cos 36^\circ\cdot \cos 72^\circ\\
&=2^{-44\frac 12}
,\end{split}\]于是\[\prod_{k=1}^{45}\csc^2 (2k-1)^\circ =\dfrac{1}{\left[\prod_{k=1}^{45}\sin (2k-1)^\circ\right]^2}=2^{89},\]因此$$m=2,n=89,$$故 $m+n$ 的值为 $91$．
答案
解析
备注
