已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）和直线 $l:Ax+By=1$，$P$ 是直线 $l$ 上一点，射线 $OP$ 交椭圆于点 $R$．又点 $Q$ 在射线 $OP$ 上且满足 $|OP|\cdot |OQ|=|OR|^2$，当 $P$ 在直线 $l$ 上移动时，求点 $Q$ 的轨迹方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-Ax-By=0$，其中 $x,y$ 不同时为 $0$
【解析】
设 $R(a\cos \theta,b\sin\theta)$，$P\left(pa\cos\theta,pb\sin\theta\right)$，其中 $p>0$，则 $Q\left(\dfrac 1pa\cos\theta,\dfrac 1pb\sin\theta\right)$．
由 $P$ 满足直线 $l$ 的方程，可得\[Apa\cos\theta+Bpb\sin\theta=1,\]而 $Q$ 的参数方程为\[\begin{cases}px=a\cos\theta,\\ py=b\sin\theta,\end{cases}\]可得\[p^2\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\right)=1,\]而\[Ap^2x+Bp^2y=1,\]从而 $Q$ 的轨迹方程为\[Ax+By=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2},\]即\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-Ax-By=0,\]其中 $x,y$ 不同时为 $0$．
由 $P$ 满足直线 $l$ 的方程，可得\[Apa\cos\theta+Bpb\sin\theta=1,\]而 $Q$ 的参数方程为\[\begin{cases}px=a\cos\theta,\\ py=b\sin\theta,\end{cases}\]可得\[p^2\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}\right)=1,\]而\[Ap^2x+Bp^2y=1,\]从而 $Q$ 的轨迹方程为\[Ax+By=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2},\]即\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-Ax-By=0,\]其中 $x,y$ 不同时为 $0$．
答案
解析
备注
