已知过定点 $A(-1,0)$ 的直线与抛物线 $C:y^2=4x$ 交于 $M,N$ 两点，$Q$ 是抛物线上不同于 $M,N$ 的点，若直线 $QM$ 恒过点 $(1,-1)$，求证：直线 $QN$ 也恒过定点并求出该定点的坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
证明略，$(1,-4)$
【解析】
设 $M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，$Q(x_3,y_3)$，则根据抛物线的平均性质，有$$y_1y_2=4,$$而\[\begin{aligned}QM:4x=(y_1+y_3)y-y_1y_3,\\ QN:4x=(y_2+y_3)y-y_2y_3.\end{aligned}\]由于直线 $QM$ 恒过点 $(1,-1)$，于是\[y_1+y_3+y_1y_3+4=0.\]将 $y_2=\dfrac{4}{y_1}$ 代入 $QN$ 的方程，得\[4x=\left(\dfrac 4{y_1}+y_3\right)y-\dfrac{4}{y_1}y_3,\]可整理得\[xy_1+y_3-\dfrac y4y_1y_3-y=0,\]因此直线 $QN$ 恒过定点 $(1,-4)$．
答案
解析
备注
