过圆 $C:x^2+y^2-4x-4y+7=0$ 外一点 $P(a,b)$ 作圆 $C$ 的切线 $PT$，$T$ 为切点，使 $|PT|=|PO|$．当 $|PT|$ 取得最小值时，求点 $P$ 的坐标及 $|PT|$ 的值．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
【答案】
$|PT|$ 最小值是 $\dfrac{7\sqrt 2}{8}$，点 $P$ 的坐标为 $\left(\dfrac 78,\dfrac 78\right)$
【解析】
$P\left(\dfrac 78,\dfrac 78\right)$，$|PT|=\dfrac{7\sqrt 2}{8}$．
圆 $C:x^2+y^2-4x-4y+7=0$ 即$$(x-2)^2+(y-2)^2=1,$$所以圆 $C$ 的半径为 $1$，圆心 $C$ 的坐标为 $(2,2)$．
所以$$|PT|^2=|PC|^2-|CT|^2=(a-2)^2+(b-2)^2-1,$$又$$|PT|=|PO|,$$所以$$(a-2)^2+(b-2)^2-1=a^2+b^2,$$所以$$b=\dfrac 74-a.$$因此\[\begin{split}|PT|^2&=a^2+\left(\dfrac 74-a\right)^2\\&=2a^2-\dfrac 72 a+\dfrac{49}{16}\\&=2\left(a-\dfrac 78\right)^2+\dfrac{49}{32},\end{split}\]故当 $a=\dfrac 78$ 时，$|PT|$ 取最小值 $\dfrac{7\sqrt 2}{8}$，此时，点 $P$ 的坐标为 $\left(\dfrac 78,\dfrac 78\right)$．
圆 $C:x^2+y^2-4x-4y+7=0$ 即$$(x-2)^2+(y-2)^2=1,$$所以圆 $C$ 的半径为 $1$，圆心 $C$ 的坐标为 $(2,2)$．
所以$$|PT|^2=|PC|^2-|CT|^2=(a-2)^2+(b-2)^2-1,$$又$$|PT|=|PO|,$$所以$$(a-2)^2+(b-2)^2-1=a^2+b^2,$$所以$$b=\dfrac 74-a.$$因此\[\begin{split}|PT|^2&=a^2+\left(\dfrac 74-a\right)^2\\&=2a^2-\dfrac 72 a+\dfrac{49}{16}\\&=2\left(a-\dfrac 78\right)^2+\dfrac{49}{32},\end{split}\]故当 $a=\dfrac 78$ 时，$|PT|$ 取最小值 $\dfrac{7\sqrt 2}{8}$，此时，点 $P$ 的坐标为 $\left(\dfrac 78,\dfrac 78\right)$．
答案
解析
备注
