题目 若关于 $x$ 的方程 $\dfrac{|x-1|}{x}=k(x-1)^2$ 有 $4$ 个不同的实数根，其和为 $S$．求： 问题1 实数 $k$ 的取值范围； 答案1 $(4,+\infty)$ 解析1 显然 $x=1$ 是方程的一个根．<br/>当 $x\ne 1$ 时，方程可化为$$\dfrac 1k=x|x-1|.$$所以直线 $y=\dfrac 1k$ 与函数 $y=x|x-1|$ 的图象有三个不同的交点．由图象可得$$0<\dfrac 1k<\dfrac 14,$$所以$$k>4.$$ 备注1 问题2 实数 $S$ 的取值范围． 答案2 $\left(3,\dfrac{5+\sqrt 2}{2}\right)$ 解析2 设方程的四个实数根为 $x_1,x_2,x_3,x_4$，且 $x_1<x_2<x_3<x_4$，则由图象可知$$x_1+x_2=\dfrac 12 \cdot 2=1,x_3=1.$$当 $\dfrac 1k=\dfrac 14$ 时，由$$x^2-x=\dfrac 14(x>1)$$得$$x=\dfrac{1+\sqrt 2}{2},$$所以$$1<x_4<\dfrac{1+\sqrt 2}{2},$$所以$$3<S<\dfrac{5+\sqrt 2}{2}.$$ 备注2