已知函数 $f(x)=\begin{cases}{\log_2}(1+x),&x\geqslant 0,\\ {\log_{\frac 12}}(1-x),&x<0.\end{cases}$．
【难度】
【出处】
2013年第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一（二试）
【标注】
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判断函数 $y=f(x)$ 的奇偶性；标注答案奇函数解析当 $x\geqslant 0$ 时，$$f(-x)={\log_{\frac 12}}(1+x)=-{\log_2}(1+x);$$当 $x<0$ 时，$$f(-x)={\log_2}(1-x)=-{\log_{\frac 12}}(1-x),$$所以对任意 $x\in \mathbb R$，有$$f(-x)=-f(x),$$即 $f(x)$ 为奇函数．
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对任意两个实数 $x_1,x_2$，求证：当 $x_1+x_2>0$ 时，$f(x_1)+f(x_2)>0$；标注答案略解析由复合函数的单调性可知 $y={\log_2}(1+x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上为增函数，结合奇偶性可知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上为增函数．
因为 $x_1+x_2>0$，所以$$x_1>-x_2,$$所以$$f(x_1)>f(-x_2)=-f(x_2),$$所以$$f(x_1)+f(x_2)>0.$$ -
对任何实数 $x$，$f\left({\rm e}^{2x}-a\right)+f\left(3-2{\rm e}^x\right)\geqslant 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．标注答案$(-\infty,2]$解析因为$$\forall x\in{\mathbb R},f\left({\rm e}^{2x}-a\right)+f\left(3-2{\rm e}^{x}\right)\geqslant 0,$$所以$$\forall x\in{\mathbb R},{\rm e}^{2x}-a+3-2{\rm e}^{x}\geqslant 0.$$即$$\forall x\in{\mathbb R},a\leqslant {\rm e}^{2x}-2{\rm e}^x+3.$$因为$${\rm e}^{2x}-2{\rm e}^x+3=\left({\rm e}^x-1\right)^2+2\geqslant 2,$$所以$$a\leqslant 2.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
