已知 $a,b,x,y$ 为正实数，$n$ 为不小于 $2$ 的正整数，求证：$ax^n+by^n\geqslant (ax+by)^n$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $x\geqslant y,$ 且令 $t=\dfrac xy\geqslant 1.$ 则原题即等价于证明下述不等式$$at^n+1-a\geqslant (at+1-a)^n$$构造函数$$f(a)=at^n+1-a-(at+1-a)^n,t\geqslant 1\wedge 0<a<1.$$对 $f(a)$ 求导，可得$$f'(a)=t^n-1-n(t-1)[(t-1)a+1]^{n-1}.$$易见 $f'(a)$ 单调递减，且注意到 $f'(1)$
答案
解析
备注
