已知 $x>0$，求证：${\rm e}^x-x^2-2x+2>0$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设不等式左侧函数为 $f(x)$，则其导函数\[f'(x)={\rm e}^x-2x-2,\]其二阶导函数\[f''(x)={\rm e}^x-2,\]因此函数 $f(x)$ 在 $(0,m)$ 上单调递减，在 $(m,+\infty)$ 上单调递增，其中\[{\rm e}^m-2m-2=0.\]因此在 $(0,+\infty)$ 上，有\[f(x)\geqslant f(m)={\rm e}^m-m^2-2m+2=4-m^2,\]因此只需要证明 $0<m<2$，而\[f'(1)={\rm e}-4<0,f'(2)={\rm e}^2-6>0,\]因此命题得证．
答案
解析
备注
