已知 $n$ 次多项式 $P(x)$，有 $P(k)=\dfrac{k}{k+1}$（$k=0,1,2,\cdots,n$），求 $P(n+1)$ 的值．
【难度】
【出处】
2016年华东师范大学新生入学考试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[(x+1)\cdot P(x)-x=\lambda x(x-1)(x-2)\cdots(x-n),\]令 $x=-1$，可得\[\lambda \cdot (-1)^{n+1}\cdot (n+1)!=1,\]再令 $x=n+1$，可得\[(n+2)\cdot P(n+1)-(n+1)=\lambda \cdot (n+1)!,\]于是\[P(n+1)=\dfrac{(n+1)+(-1)^{n+1}}{n+2}.\]
答案
解析
备注
