已知 $a$ 是实数，函数 $f(x)={\rm e}^x-ax^2-a^2x$，若存在唯一的正整数 $t$，使 $f(t)<0$，则 $t$ 可能为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
AB
【解析】
不等式\[{\rm e}^x-ax^2-a^2x<0,\]即\[2a<-x-\sqrt{x^2+\dfrac{4{\rm e}^x}{x}}\lor 2a>-x+\sqrt{x^2+\dfrac{4{\rm e}^x}{x}},\]记\[\begin{split} \varphi(x)&=-x-\sqrt{x^2+\dfrac{4{\rm e}^x}{x}},\\
\mu(x)&=-x+\sqrt{x^2+\dfrac{4{\rm e}^x}{x}}.\end{split}\]由于 $\varphi(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减，于是当\[\varphi(2)\leqslant 2a<\varphi(1)\]时，符合题意的正整数 $t$ 唯一，且 $t=1$．
由于当 $x\geqslant 3$ 时，有\[\dfrac{{\rm e}^x}{x}\geqslant \dfrac{2{\rm e}^2}{9}x-\dfrac{{\rm e}^3}{3}>\dfrac 54x+\dfrac{25}{16},\]因此当 $x\geqslant 3$ 时，有\[\mu(x)>2.5.\]又\[0<\mu(2)<\mu(1)<2.5,\]于是当\[\mu(2)<2a\leqslant\mu(1)\]时，符合题意的正整数 $t$ 唯一，且 $t=2$．
综上所述，$t$ 的可能值为 $1$ 和 $2$．
\mu(x)&=-x+\sqrt{x^2+\dfrac{4{\rm e}^x}{x}}.\end{split}\]由于 $\varphi(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减，于是当\[\varphi(2)\leqslant 2a<\varphi(1)\]时，符合题意的正整数 $t$ 唯一，且 $t=1$．
由于当 $x\geqslant 3$ 时，有\[\dfrac{{\rm e}^x}{x}\geqslant \dfrac{2{\rm e}^2}{9}x-\dfrac{{\rm e}^3}{3}>\dfrac 54x+\dfrac{25}{16},\]因此当 $x\geqslant 3$ 时，有\[\mu(x)>2.5.\]又\[0<\mu(2)<\mu(1)<2.5,\]于是当\[\mu(2)<2a\leqslant\mu(1)\]时，符合题意的正整数 $t$ 唯一，且 $t=2$．
综上所述，$t$ 的可能值为 $1$ 和 $2$．
题目
答案
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