已知正实数 $a,b$ 满足 $a+b=1,$ 求证：$\sqrt{a^2+\dfrac1a}+\sqrt{b^2+\dfrac1b}\geqslant 3.$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题有$$\begin{split} \sqrt{a^2+\dfrac1a}+\sqrt{b^2+\dfrac1b}&\geqslant 3\\
\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+\dfrac1a}+\sqrt{b^2+\dfrac1b}\right)^2&\geqslant 9\\
\Leftrightarrow a^2+b^2+\dfrac1a+\dfrac1b+2\sqrt{a^2b^2+\dfrac1{ab}+\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}}&\geqslant 9,\end{split}$$而$$LHS\geqslant\dfrac12(a+b)^2+\dfrac{(1+1)^2}{a+b}+2\sqrt{\left(\dfrac14\right)^2+4+\dfrac{(a+b)^2}{a+b}}=9=RHS.$$因此原命题得证．
\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+\dfrac1a}+\sqrt{b^2+\dfrac1b}\right)^2&\geqslant 9\\
\Leftrightarrow a^2+b^2+\dfrac1a+\dfrac1b+2\sqrt{a^2b^2+\dfrac1{ab}+\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}}&\geqslant 9,\end{split}$$而$$LHS\geqslant\dfrac12(a+b)^2+\dfrac{(1+1)^2}{a+b}+2\sqrt{\left(\dfrac14\right)^2+4+\dfrac{(a+b)^2}{a+b}}=9=RHS.$$因此原命题得证．
答案
解析
备注
