设函数 $f(x)=(x-1){\rm e}^x-kx^2$，当 $k\in \left(\dfrac 12,1\right]$ 时，求函数 $f(x)$ 在 $[0,k]$ 上的最大值．
【难度】
【出处】
2013年高考广东卷（理）
【标注】
【答案】
$(k-1){\rm e}^k-k^3$
【解析】
根据题意，有 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=x\left({\rm e}^x-2k\right),\]考虑到 $y={\rm e}^x-2k$ 在 $[0,k]$ 上单调递增，因此需要考虑 ${\rm e}^k-2k$ 的正负．
事实上，有\[\left({\rm e}^k-2k\right)_k'={\rm e}^k-2,\]于是其极小值，亦为最小值是\[\left({\rm e}^k-2k\right)\left|_{k=\ln 2}\right.=2-2\ln 2>0,\]因此函数 $f(x)$ 在 $[0,k]$ 上先单调递减，再单调递增，其最大值为\[\max\{f(0),f(k)\}=\max\{-1,(k-1){\rm e}^k-k^3\}.\]作差比较，有\[\begin{split}f(k)-f(0)&=(k-1){\rm e}^k-k^3+1\\ &=(1-k)\cdot {\rm e}^k\left[{\rm e}^{-k}\cdot (k^2+k+1)-1\right].\end{split}\]考虑到\[\left({\rm e}^{-k}\cdot (k^2+k+1)\right)'={\rm e}^{-k}\cdot k(1-k)\geqslant 0,\]于是\[{\rm e}^{-k}(k^2+k+1)>\left({\rm e}^{-k}(k^2+k+1)\right)\left|_{k=0}\right.=1,\]所以有 $f(k)-f(0)>0$．
因此所求的最大值为 $f(k)=(k-1){\rm e}^k-k^3$．
事实上，有\[\left({\rm e}^k-2k\right)_k'={\rm e}^k-2,\]于是其极小值，亦为最小值是\[\left({\rm e}^k-2k\right)\left|_{k=\ln 2}\right.=2-2\ln 2>0,\]因此函数 $f(x)$ 在 $[0,k]$ 上先单调递减，再单调递增，其最大值为\[\max\{f(0),f(k)\}=\max\{-1,(k-1){\rm e}^k-k^3\}.\]作差比较，有\[\begin{split}f(k)-f(0)&=(k-1){\rm e}^k-k^3+1\\ &=(1-k)\cdot {\rm e}^k\left[{\rm e}^{-k}\cdot (k^2+k+1)-1\right].\end{split}\]考虑到\[\left({\rm e}^{-k}\cdot (k^2+k+1)\right)'={\rm e}^{-k}\cdot k(1-k)\geqslant 0,\]于是\[{\rm e}^{-k}(k^2+k+1)>\left({\rm e}^{-k}(k^2+k+1)\right)\left|_{k=0}\right.=1,\]所以有 $f(k)-f(0)>0$．
因此所求的最大值为 $f(k)=(k-1){\rm e}^k-k^3$．
答案
解析
备注
