题目 已知函数 $f(x)=2-\dfrac1x$，数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=2,a_{n+1}=f(a_n)$． 问题1 证明：存在一个等差数列 $\{b_n\}$，使得当 $n>1$ 时，$a_n=\dfrac{b_n}{b_{n-1}}$ 成立； 答案1 略 解析1 当 $n>1$ 时，令$$a_n=\dfrac{b_n}{b_{n-1}},$$由题可知 $a_{n+1}=2-\dfrac{1}{a_n}$，代入整理得$$\dfrac{b_{n-1}+b_{n+1}}{b_n}=2,$$因此，当 $\{b_n\}$ 是等差数列，且 $b_n\ne0$ 时，上式恒成立，得证． 备注1 问题2 求 $\{a_n\}$ 的通项公式． 答案2 $a_n=\dfrac{n+1}{n}$（$n\in\mathbb N^*$） 解析2 由题有$$a_1=2,a_2=\dfrac32,a_3=\dfrac43,$$结合（1）可知，设 $\{b_n\}$ 的公差为 $d$，则$$\dfrac{b_1+d}{b_1}=\dfrac32,\dfrac{b_1+2d}{b_1+d}=\dfrac43,$$解得 $b_1=2,d=1$，因此，当 $n>1$ 时，$$a_n=\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\dfrac{n+1}{n},$$当 $n=1$ 时，$a_1=2$ 符合上式，因此 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=\dfrac{n+1}{n}$（$n\in\mathbb N^*$）． 备注2