在空间直角坐标系中，设 $O$ 是坐标原点，$A,B$ 两点的坐标分别为 $\left( a_1,a_2,a_3 \right)$，$\left(b_1,b_2,b_3 \right)$．求 $OA$ 与 $OB$ 夹角的余弦；从 $A$ 向 $OB$ 作垂线交 $OB$ 于点 $P$，求点 $P$ 的坐标．
【难度】
【出处】
2014年中国人民大学财经学院金融学与数学实验班选拔试题
【标注】
【答案】
$\dfrac{\left|a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\right|}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}$；$\displaystyle \left(\dfrac {b_1\sum \limits _{i=1} ^3 {a_ib_i}}{\sum \limits_{i=1}^3 {b_i^2}},\dfrac {b_2\sum \limits _{i=1} ^3 {a_ib_i}}{\sum \limits_{i=1}^3 {b_i^2}},\dfrac {b_3\sum \limits _{i=1} ^3 {a_ib_i}}{\sum \limits_{i=1}^3 {b_i^2}}\right)$
【解析】
设 $OA$ 与 $OB$ 的夹角为 $\theta$，则\[
\cos\theta=\left|\cos\left\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right\rangle\right|=
\dfrac{\left|a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\right|}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}.
\]设点 $P$ 的坐标为 $k\left(b_1,b_2,b_3\right)$，由于 $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{OB}=0$，故\[
\displaystyle\sum_{i=1}^{3}{b_i\left(kb_i-a_i\right)=0},
\]解得\[
k=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^3{a_ib_i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^3{b_i^2}},
\]故点 $P$ 的坐标为 $\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^3{a_ib_i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^3{b_i^2}}\left(b_1,b_2,b_3\right)$．
\cos\theta=\left|\cos\left\langle\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right\rangle\right|=
\dfrac{\left|a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\right|}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\cdot\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}.
\]设点 $P$ 的坐标为 $k\left(b_1,b_2,b_3\right)$，由于 $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{OB}=0$，故\[
\displaystyle\sum_{i=1}^{3}{b_i\left(kb_i-a_i\right)=0},
\]解得\[
k=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^3{a_ib_i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^3{b_i^2}},
\]故点 $P$ 的坐标为 $\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^3{a_ib_i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^3{b_i^2}}\left(b_1,b_2,b_3\right)$．
答案
解析
备注
