设常数 $a\in\mathbb R,$ 函数 $f(x)=\dfrac{2^x+a}{2^x-a}.$
$(1)$ 当 $a=1$ 时，判断并证明 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 的单调性；
$(2)$ 当 $a\geqslant 0$ 时，讨论函数 $y=f(x)$ 的奇偶性，并说明理由；
$(3)$ 当 $a\neq0$ 时，若存在区间 $[m,n],m<n,$ 使得函数 $f(x)$ 在 $[m,n]$ 的值域为 $[2^m,2^n],$ 求实数 $a$ 的取值范围．
$(1)$ 当 $a=1$ 时，判断并证明 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 的单调性；
$(2)$ 当 $a\geqslant 0$ 时，讨论函数 $y=f(x)$ 的奇偶性，并说明理由；
$(3)$ 当 $a\neq0$ 时，若存在区间 $[m,n],m<n,$ 使得函数 $f(x)$ 在 $[m,n]$ 的值域为 $[2^m,2^n],$ 求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
$(1)$ $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减．
$(2)$情形一 当 $a=0,$ $f(x)=1$ 为偶函数．
情形二 当 $a=1,$ $f(x)$ 为奇函数．
情形三 当 $a\neq0\wedge a\neq1$，则 $x=0$ 在定义域内，而此时 $f(0)\neq0,$ 因此该种情形下函数不可能为奇函数．若此时函数为偶函数，则有$$f(x)=f(-x)\Leftrightarrow 1+\dfrac{2a}{2^x-a}=1+\dfrac{2a}{2^{-x}-a}$$
$(2)$
答案
解析
备注
