设常数 $a\in\mathbb R,$ 函数 $f(x)=\dfrac{2^x+a}{2^x-a}.$
【难度】
【出处】
无
【标注】
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当 $a=1$ 时，判断并证明 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 的单调性；标注答案略解析$(1)$ $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减．
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当 $a\geqslant 0$ 时，讨论函数 $y=f(x)$ 的奇偶性，并说明理由；标注答案略解析$(2)$
情形一 当 $a=0,$ $f(x)=1$ 为偶函数．情形二 当 $a=1,$ $f(x)$ 为奇函数．情形三 当 $a\neq0\wedge a\neq1$，则 $x=0$ 在定义域内，而此时 $f(0)\neq0,$ 因此该种情形下函数不可能为奇函数．若此时函数为偶函数，则有$$f(x)=f(-x)\Leftrightarrow 1+\dfrac{2a}{2^x-a}=1+\dfrac{2a}{2^{-x}-a},$$解得 $x=0$ 不符题设，因此此种情形下函数非奇非偶．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
