估计函数 $f(x)=x^2{\rm e}^x-\ln x$ 的下界．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$1.1052$
【解析】
下面从计算量和误差两个方面对各个方案进行评价．
No．4 $x=0$ 处对 ${\rm e}^x$ 进行切线放缩
由于 ${\rm e}^x>x+1$，于是$$f(x)>g(x)=x^2(x+1)-\ln x,$$而 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)=\dfrac{3x^3+2x^2-1}{x},$$因此可以解得极小值点$$x_0=\dfrac 19\left[-2+\left(\dfrac{227}2-\dfrac{9\sqrt{633}}2\right)^{1/3}+\left(\dfrac{227}2+\dfrac{9\sqrt{633}}2\right)^{1/3}\right],$$于是可得 $g(x)$ 的最小值为$$g(x_0)> 1.0646.$$这样就得到了 $f(x)$ 的下界 $1.0646$．
不满意度：12（算成这样还拿出来．．．）
计算量 $(8)$：解一个三次方程 $(5)$，计算一个复杂对数值 $(3)$；误差 $(4)$．
No．3 $x=1$ 处对 ${\rm e}^x$ 进行切线放缩
由于 ${\rm e}^x>{\rm e}x$，于是$$f(x)>g(x)={\rm e}\cdot x^3-\ln x,$$而 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)=\dfrac{3{\rm e}x^3-1}{x},$$因此可以解得极小值点$$x_0=\left(\dfrac{1}{3{\rm e}}\right)^{1/3},$$于是可得 $g(x)$ 的最小值为$$g(x_0)=\dfrac{\ln 3+2}3>1.0328.$$这样就得到了 $f(x)$ 的下界 $1.0328$．
不满意度：8（节省了计算量，降低了精度）
计算量 $(1)$：计算一个简单对数值 $(1)$；误差 $(7)$．
No．2 $x=\dfrac 12$ 处进行双切线放缩
由于$${\rm e}^x\geqslant \sqrt{\rm e}x+\dfrac{\sqrt{\rm e}}2,$$且$$\ln x\leqslant 2x-1-\ln 2,$$于是$$f(x)\geqslant g(x)=\sqrt{\rm e}x^3+\dfrac{\sqrt{\rm e}}2x^2-2x+1+\ln 2,$$其在 $x>0$ 时的极小值点为$$x_0=\dfrac{-1+\left(24+\sqrt{\rm e}\right)^{1/2}}6,$$因此可得 $g(x)$ 在 $x>0$ 时的最小值为$$g(x_0)>1.1050.$$这样就得到了 $f(x)$ 的下界 $1.1050$．
不满意度：6（提高了精度，牺牲了计算量）
计算量 $(6)$：计算一个复杂根式 $(3)$，计算一个复杂多项式 $(2)$，计算一个简单对数值 $(1)$；误差 $(0)$．
No．1 $x=0$ 处对 ${\rm e}^x$ 进行二次逼近
由于 ${\rm e}^x>1+x+\dfrac {x^2}2$，于是$$f(x)>g(x)=x^2\left(1+x+\dfrac{x^2}{2}\right)-\ln x,$$对 $g(x)$ 求导得$$g'(x)=\dfrac{2x^4+3x^3+x^2-1}x=\dfrac {(x+1)(x^2+x+1)(2x-1)}{x},$$于是 $g(x)$ 的极小值点为 $x_0=\dfrac 12$，因此可得 $g(x)$ 的极小值为$$g\left(\dfrac 12\right)=\dfrac{13}{32}+\ln 2>1.0994.$$这样就得到了 $f(x)$ 的下界 $1.0994$．
不满意度：3（计算量精度两不误）
计算量 $(2)$：对一个四次方程进行试根 $(1)$，计算一个简单对数值 $(1)$；误差 $(1)$．
由于 ${\rm e}^x>x+1$，于是$$f(x)>g(x)=x^2(x+1)-\ln x,$$而 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)=\dfrac{3x^3+2x^2-1}{x},$$因此可以解得极小值点$$x_0=\dfrac 19\left[-2+\left(\dfrac{227}2-\dfrac{9\sqrt{633}}2\right)^{1/3}+\left(\dfrac{227}2+\dfrac{9\sqrt{633}}2\right)^{1/3}\right],$$于是可得 $g(x)$ 的最小值为$$g(x_0)> 1.0646.$$这样就得到了 $f(x)$ 的下界 $1.0646$．
不满意度：12（算成这样还拿出来．．．）
计算量 $(8)$：解一个三次方程 $(5)$，计算一个复杂对数值 $(3)$；误差 $(4)$．
由于 ${\rm e}^x>{\rm e}x$，于是$$f(x)>g(x)={\rm e}\cdot x^3-\ln x,$$而 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)=\dfrac{3{\rm e}x^3-1}{x},$$因此可以解得极小值点$$x_0=\left(\dfrac{1}{3{\rm e}}\right)^{1/3},$$于是可得 $g(x)$ 的最小值为$$g(x_0)=\dfrac{\ln 3+2}3>1.0328.$$这样就得到了 $f(x)$ 的下界 $1.0328$．
不满意度：8（节省了计算量，降低了精度）
计算量 $(1)$：计算一个简单对数值 $(1)$；误差 $(7)$．
由于$${\rm e}^x\geqslant \sqrt{\rm e}x+\dfrac{\sqrt{\rm e}}2,$$且$$\ln x\leqslant 2x-1-\ln 2,$$于是$$f(x)\geqslant g(x)=\sqrt{\rm e}x^3+\dfrac{\sqrt{\rm e}}2x^2-2x+1+\ln 2,$$其在 $x>0$ 时的极小值点为$$x_0=\dfrac{-1+\left(24+\sqrt{\rm e}\right)^{1/2}}6,$$因此可得 $g(x)$ 在 $x>0$ 时的最小值为$$g(x_0)>1.1050.$$这样就得到了 $f(x)$ 的下界 $1.1050$．
不满意度：6（提高了精度，牺牲了计算量）
计算量 $(6)$：计算一个复杂根式 $(3)$，计算一个复杂多项式 $(2)$，计算一个简单对数值 $(1)$；误差 $(0)$．
由于 ${\rm e}^x>1+x+\dfrac {x^2}2$，于是$$f(x)>g(x)=x^2\left(1+x+\dfrac{x^2}{2}\right)-\ln x,$$对 $g(x)$ 求导得$$g'(x)=\dfrac{2x^4+3x^3+x^2-1}x=\dfrac {(x+1)(x^2+x+1)(2x-1)}{x},$$于是 $g(x)$ 的极小值点为 $x_0=\dfrac 12$，因此可得 $g(x)$ 的极小值为$$g\left(\dfrac 12\right)=\dfrac{13}{32}+\ln 2>1.0994.$$这样就得到了 $f(x)$ 的下界 $1.0994$．
不满意度：3（计算量精度两不误）
计算量 $(2)$：对一个四次方程进行试根 $(1)$，计算一个简单对数值 $(1)$；误差 $(1)$．
答案
解析
备注
