$\triangle ABC$ 中，$AB=6$，$AC=10$，$O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，且 $x+2y=1$，求 $\triangle ABC$ 的面积．
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$5\sqrt{11}$
【解析】
根据题意，有\[\begin{cases} \overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=x\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB},\\
\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+y\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC},\end{cases}\]于是\[\begin{cases} \dfrac 12AB^2=x\cdot AB^2+y\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A,\\ \dfrac 12AC^2= x\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A+y\cdot AC^2,\end{cases}\]即\[\begin{cases} 18=36x+60y\cdot\cos A,\\ 50=60x\cdot \cos A+100y,\end{cases}\]又 $x+2y=1$，解得\[(x,y,\cos A)=\left(0,\dfrac 12,\dfrac 35\right),\left(-\dfrac 7{11},\dfrac{9}{11},\dfrac 56\right).\]因此 $\triangle ABC$ 的面积为\[\dfrac 12\cdot AB\cdot AC\cdot \sqrt{1-\cos^2A}=24,5\sqrt {11}.\]
\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+y\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC},\end{cases}\]于是\[\begin{cases} \dfrac 12AB^2=x\cdot AB^2+y\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A,\\ \dfrac 12AC^2= x\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A+y\cdot AC^2,\end{cases}\]即\[\begin{cases} 18=36x+60y\cdot\cos A,\\ 50=60x\cdot \cos A+100y,\end{cases}\]又 $x+2y=1$，解得\[(x,y,\cos A)=\left(0,\dfrac 12,\dfrac 35\right),\left(-\dfrac 7{11},\dfrac{9}{11},\dfrac 56\right).\]因此 $\triangle ABC$ 的面积为\[\dfrac 12\cdot AB\cdot AC\cdot \sqrt{1-\cos^2A}=24,5\sqrt {11}.\]
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备注
