$\triangle ABC$ 中，$AB=6$，$AC=10$，$O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，且 $x+2y=1$，求 $\triangle ABC$ 的面积．
【难度】
【出处】
2016年第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
【答案】
$5\sqrt{11}$
【解析】
由 $x+2y=1$，结合$$\overrightarrow{AO}=x\cdot\overrightarrow{AB}+2y\cdot\left(\dfrac12\overrightarrow{AC}\right),$$因此，外心 $O$ 在 $\triangle ABC$ 的中线 $BD$ 上，其中 $D$ 为 $AC$ 的中点．
情形一 $O$ 与 $D$ 重合，此时 $\triangle ABC$ 是以 $B$ 为直角顶点的直角三角形，因此\[S_{\triangle ABC}=\dfrac 12AB\cdot BC=20.\]情形二 $O$ 不与 $D$ 重合，此时 $\triangle ODA$ 与 $\triangle ODB$ 全等，于是 $BD\perp AC$，故 $\triangle ABC$ 是以 $B$ 为顶点的等腰三角形，因此$$S_{\triangle ABC}=\dfrac12\cdot AC\cdot BD=5\sqrt{11}.$$综上所述，所求 $\triangle ABC$ 的面积为 $20$ 或 $5\sqrt{11}$．
答案
解析
备注
