已知 $P,Q$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上的两点，$O$ 为坐标原点，直线 $OP$ 与直线 $OQ$ 的斜率之积为 $-\dfrac{b^2}{a^2}$，求证：$OP^2+OQ^2$ 等于定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $P(a\cos\alpha,b\sin\alpha)$，$Q(a\cos\beta,b\sin\beta)$，则根据题意，有\[\dfrac{b\sin\alpha\cdot b\sin\beta}{a\cos\alpha\cdot a\cos\beta}=-\dfrac{b^2}{a^2},\]整理得\[\cos(\alpha-\beta)=0,\]进而\[OP^2+OQ^2=a^2+b^2,\]为定值，原命题得证．
答案
解析
备注
