是否存在常数 $C$ 使不等式 $\dfrac{x}{2x+y}+\dfrac{y}{x+2y}\leqslant C\leqslant \dfrac{y}{2x+y}+\dfrac{x}{x+2y}$ 对任意的正数 $x,y$ 恒成立，若存在请求出 $C$ 的值，并证明上述不等式，若不存在请说明理由．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$C=\dfrac23$
【解析】
当 $x=y$ 时，若符合题意的 $C$ 存在，则 $C=\dfrac 23$，接下来证明 $C$ 可以取 $\dfrac 23$．
令 $2x+y=m$，$x+2y=n$，则\[x=\dfrac{2m-n}3,y=\dfrac{2n-m}3,\]于是题中不等式即\[\dfrac 43-\dfrac 13\left(\dfrac nm+\dfrac mn\right)\leqslant C \leqslant\dfrac 23\left(\dfrac nm+\dfrac mn\right)-\dfrac 23,\]根据均值不等式，上述不等式成立，因此 $C=\dfrac 23$．
令 $2x+y=m$，$x+2y=n$，则\[x=\dfrac{2m-n}3,y=\dfrac{2n-m}3,\]于是题中不等式即\[\dfrac 43-\dfrac 13\left(\dfrac nm+\dfrac mn\right)\leqslant C \leqslant\dfrac 23\left(\dfrac nm+\dfrac mn\right)-\dfrac 23,\]根据均值不等式，上述不等式成立，因此 $C=\dfrac 23$．
答案
解析
备注
