已知变量 $x$ 和 $\theta$ 都在 $\mathbb R$ 上变化，求 $\dfrac{x^2+2x\sin\theta+2}{x^2+2x\cos\theta+2}$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[2-\sqrt 3,2+\sqrt 3\right]$
【解析】
设题中代数式为 $t$，则\[(1-t)x^2+\left(2\sin\theta-2\cos\theta\cdot t\right)x+2-2t=0,\]其判别式\[\Delta=4\left(\sin\theta-\cos\theta\cdot t\right)^2-8(1-t)^2\geqslant 0,\]于是\[|\sin\theta-t\cos\theta|\geqslant \sqrt 2|1-t|,\]于是\[\sqrt{1+t^2}\geqslant \sqrt 2|1-t|,\]解得 $t$ 的取值范围是 $\left[2-\sqrt 3,2+\sqrt 3\right]$．
答案
解析
备注
