题目 设常数 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=\dfrac{2^x+a}{2^x-a}.$ 问题1 当 $a=1$ 时，判断并证明 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 的单调性； 答案1 单调递减 解析1 设 $x_1,x_2\in (0,+\infty)$，则\[\begin{split}<br/>\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}&=\dfrac{\dfrac{2^{x_1}+1}{2^{x_1}-1}-\dfrac{2^{x_2}+1}{2^{x_2}-1}}{x_1-x_2}\\<br/>&=\dfrac{2\left(2^{x_2}-2^{x_1}\right)}{x_1-x_2}\\<br/>&=2\cdot 2^{x_2}\cdot \dfrac{1-2^{x_1-x_2}}{x_1-x_2}\\<br/>&<0,\end{split}\]因此 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减． 备注1 问题2 当 $a\geqslant 0$ 时，讨论函数 $y=f(x)$ 的奇偶性，并说明理由； 答案2 当 $a=0$ 时，$f(x)$ 为偶函数；当 $a=1$ 时，$f(x)$ 为奇函数；当 $a\in (0,1)\cup (1,+\infty)$ 时，$f(x)$ 既不是奇函数也不是偶函数 解析2 当 $a=0$ 时，有 $f(x)=1,x\in\mathbb R$ 为偶函数．<br/>当 $a>0$ 时，$f(x)$ 的定义域为 $\left(-\infty,{\log_2}a\right)\cup\left({\log_2}a,+\infty\right)$．<br/><case>情形一</case> $a=1$，此时函数 $f(x)$ 的定义域关于原点对称，且\[\dfrac{2^x+1}{2^x-1}=-\dfrac{2^{-x}+1}{2^{-x}-1},\]于是 $f(x)$ 为奇函数．<br/><case>情形二</case> $0<a<1$ 或 $a>1$，函数 $f(x)$ 的定义域不关于原点对称，因此 $f(x)$ 为非奇非偶函数． 备注2 问题3 当 $a\neq0$ 时，若存在区间 $[m,n]$ 使得函数 $f(x)$ 在 $[m,n]$ 的值域为 $\left[2^m,2^n\right],$ 求实数 $a$ 的取值范围． 答案3 $\left(2\sqrt 2-3,0\right)\cup \{1\}$ 解析3 函数\[f(x)=1+\dfrac{2a}{2^x-a}.\]<case>情形一</case>若 $a<0,$ 则 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，因此\[\begin{cases} f(m)=2^m,\\ f(n)=2^n,\end{cases}\]于是 $2^m,2^n$ 是关于 $t$ 的方程\[1+\dfrac{2a}{t-a}=t\]即\[a+3=t+1+\dfrac{2}{t+1},\]的两个实数解．因此问题等价于直线 $y=a+3$ 与函数 $y=x+\dfrac 2x$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上有两个公共点，如图．<br/>解得实数 $a$ 的取值范围是 $\left(2\sqrt 2-3,0\right)$．<br/><case>情形二</case>若 $a>0$，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,\log_2a)$ 与 $(\log_2a,+\infty)$ 上分别单调递减．此时\[\begin{cases} f(m)=2^n,\\ f(n)=2^m,\end{cases}\]即\[\begin{cases} 1+\dfrac{2a}{2^m-a}=2^n,\\ 1+\dfrac{2a}{2^n-a}=2^m,\end{cases}\]即\[\begin{cases} 2^m+a=2^n\left(2^m-a\right),\\<br/>2^n+a=2^m\left(2^n-a\right),\end{cases}\]于是\[2^m-2^n=a\left(2^m-2^n\right),\]进而 $a=1$．经验证，$a=1$ 时，存在 $(m,n)$ 符合题意．<br/>综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $\left(2\sqrt 2-3,0\right)\cup \{1\}$． 备注3