已知实数 $a,b,c$，$c<0$，设函数 $f(x)=ax+b$，$g(x)=x^2+c$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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请用 $f(0)$ 和 $f(1)$ 表示出 $a,b$；标注答案$a=f(1)-f(0)$；$b=f(0)$解析略
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若对任意的 $x\in[0,1],$ 都有 $0\leqslant f(x)\leqslant 1,$ 求 $ab$ 的最大值；标注答案$\dfrac 14$解析由题有$$ab=f(0)\cdot[f(1)-f(0)]\leqslant\dfrac14\cdot f^2(1)\leqslant\dfrac14,$$等号当 $f(0)=f(1)-f(0)$ 且 $f(1)=1$，即 $a=b=\dfrac 12$ 时 $ab$ 取得，因此所求最大值为 $\dfrac 14$．
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已知 $a=1$，$b$ 和 $c$ 是闭区间 $I$ 的两个端点．若对任意的 $x\in I,$ 都有 $f(x)\cdot g(x)\geqslant 0.$ 求 $|b-c|$ 的最大值．标注答案$1$解析题中不等式即\[(x+b)\left(x+\sqrt{-c}\right)\left(x-\sqrt{-c}\right)\geqslant 0,\]按 $-b$ 与 $-\sqrt{-c}$ 和 $\sqrt{-c}$ 的大小关系讨论．
情形一 $-b<-\sqrt{-c}$，此时区间 $[c,b]$ 内包含零点 $x=\sqrt{-c}$，不符合题意．
情形二 $-b=-\sqrt{-c}$，此时区间 $[c,b] $ 内包含使得 $ f(x)\cdot g(x)<0 $ 的区间 $ \left(0,\sqrt{-c}\right)$，不符合题意．
情形三 $-\sqrt{-c}<-b<\sqrt{-c}$．此时若 $b> 0$，则区间 $[c,b]$ 内包含使得 $ f(x)\cdot g(x)<0 $ 的区间 $ \left(-b,b\right)$，不符合题意．因此 $b<0$，如图．
此时 $c \geqslant -\sqrt{-c}$，于是 $-c\leqslant 1$．因此\[|b-c|=b-c\leqslant 0+1=1,\]等号当 $(b,c)=(0,-1)$ 时取得，此时 $|b-c|$ 的最大值为 $1$．情形四 $-b=\sqrt{-c}$．此时 $c\geqslant -\sqrt{-c}$，且\[|b-c|=c-b=c+\sqrt{-c}=\sqrt{-c}\cdot \left(1-\sqrt{-c}\right)\leqslant \dfrac 14.\]
情形五 $-b>\sqrt{-c}$．此时 $f(b)\cdot g(b)<0$，不符合题意．
综上所述，$|b-c|$ 的最大值为 $1$，当 $b=0$，$c=-1$ 时取得．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
