题目 已知实数 $a,b,c$，$c<0$，设函数 $f(x)=ax+b$，$g(x)=x^2+c$． 问题1 请用 $f(0)$ 和 $f(1)$ 表示出 $a,b$； 答案1 $a=f(1)-f(0)$；$b=f(0)$ 解析1 略 备注1 问题2 若对任意的 $x\in[0,1],$ 都有 $0\leqslant f(x)\leqslant 1,$ 求 $ab$ 的最大值； 答案2 $\dfrac 14$ 解析2 由题有$$ab=f(0)\cdot[f(1)-f(0)]\leqslant\dfrac14\cdot f^2(1)\leqslant\dfrac14,$$等号当 $f(0)=f(1)-f(0)$ 且 $f(1)=1$，即 $a=b=\dfrac 12$ 时 $ab$ 取得，因此所求最大值为 $\dfrac 14$． 备注2 问题3 已知 $a=1$，$b$ 和 $c$ 是闭区间 $I$ 的两个端点．若对任意的 $x\in I,$ 都有 $f(x)\cdot g(x)\geqslant 0.$ 求 $|b-c|$ 的最大值． 答案3 $1$ 解析3 根据题意，有\[\begin{cases} f(b)\cdot g(b) \geqslant 0,\\ f(c)\cdot g(c) \geqslant 0,\end{cases}\]即\[\begin{cases} 2b\left(b^2+c\right)\geqslant 0,\\ (b+c)\left(c^2+c\right)\geqslant 0,\end{cases}\]也即\[\begin{cases} b\left(b^2+c\right)\geqslant 0,\\ (b+c)\left(c+1\right)\leqslant 0,\end{cases}\]<case>情形一</case> $b=0$．此时 $c\geqslant -1$，而\[|b-c|=-c\leqslant 1,\]等号当 $c=-1$ 时取得．<br/><case>情形二</case> $b>0$．此时 $0\in I$，于是\[f(0)\cdot g(0)=bc<0,\]不符合题意．<br/><case>情形三</case> $b<0$．此时\[-1\leqslant c\leqslant -b^2,\]于是 $b,c\in [-1,0)$，因此\[|b-c|< 1.\]综上所述，$|b-c|$ 的最大值为 $1$，当 $b=0$，$c=-1$ 时取得． 备注3