题目 已知 $f(x)=(x-4)m^{x+1}$，其中 $m$ 为常数，$m>0$ 且 $m\neq1.$ 问题1 不论 $m$ 如何变化，$f(x)$ 的图象都经过定点，求出定点坐标； 答案1 定点 为 $(4,0)$ 和 $(-1,5)$ 解析1 函数 $f(x)$ 恒过点 $(4,0)$ 和 $(-1,5)$．下面证明，函数 $f(x)$ 不可能过定点 $(p,q)$，其中 $p\ne 4$ 且 $p\ne -1$．<br/><sol>证明</sol> 用反证法．否则\[\forall m\in (0,1)\cup(1,+\infty),(p-4)m^{p+1}=q,\]即\[\forall m \in (0,1)\cup(1,+\infty),m^{p+1}=\dfrac{q}{p-4},\]而当 $p\ne -1$ 时，$m^{p+1}$ 随着 $m$ 的变化而变化，不可能为定值，而 $\dfrac{q}{p-4}$ 为定值，矛盾．<br/>因此函数 $f(x)$ 所经过的定点为 $(4,0)$ 和 $(-1,5)$． 备注1 问题2 是否存在 $m,$ 使得 $f(x)<f(x+1)$ 在 $x\geqslant 1$ 时恒成立？若存在，求出 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由． 答案2 略 解析2 根据题意，有$$\forall x\geqslant 1,f(x+1)-f(x)>0,$$即$$\forall x\geqslant 1,(x-3)m^{x+2}-(x-4)m^{x+1}>0,$$即$$\forall x\geqslant 1,(m-1)x+4-3m>0,$$即\[\begin{cases} m-1> 0,\\ \left[(m-1)x+4-3m\right]\Big|_{x=1}>0,\end{cases}\]解得 $m$ 的取值范围是 $\left(1,\dfrac 32\right)$． 备注2