题目 对于两个定义域相同的函数 $f(x),g(x)$，若存在实数 $m,n$，使得 $h(x)=mf(x)+ng(x)$，则称函数 $h(x)$ 是由基函数 $f(x),g(x)$ 生成的． 问题1 若 $f(x)=x^2+3x$ 和 $g(x)=3x+4$ 生成一个偶函数 $h(x)$，求 $h(2)$ 的值； 答案1 $0$ 解析1 设 $h(x)=mf(x)+ng(x)$，则\[h(x)=mx^2+(3m+3n)x+4n,\]该函数为偶函数，当且仅当 $m+n=0$，于是\[h(x)=mx^2-4m,\]于是 $h(2)=0$． 备注1 问题2 若 $h(x)=2x^2+3x-1$ 是由 $f(x)=x^2+ax$ 和 $g(x)=x+b$ 生成，其中 $a,b\in\mathbb R$ 且 $ab\neq 0,$ 求 $\dfrac ab$ 的取值范围； 答案2 $\left[-\dfrac98,0\right)\cup\left(0,+\infty\right)$ 解析2 设 $h(x)=mf(x)+ng(x)$，则$$2x^2+3x-1=m(x^2+ax)+n(x+b),$$可得$$\begin{cases} 2=m,\\ 3=am+n,\\ -1=nb,\end{cases}$$解得$$(a,b)=\left(\dfrac{3-n}2,-\dfrac1n\right),$$于是$$\dfrac ab=\dfrac12(n^2-3n),$$其中 $n\ne 0$ 且 $n\ne 3$．因此 $\dfrac ab$ 的取值范围为 $\left[-\dfrac98,0\right)\cup\left(0,+\infty\right)$． 备注2 问题3 利用基函数 $f(x)={\log_4}\left(4^x+1\right)$，$g(x)=x-1$ 生成一个函数 $h(x)$，使得 $h(x)$ 是偶函数且有最小值 $1$，求 $h(x)$ 的解析式． 答案3 略 解析3 设 $h(x)=m\left(f(x)+\lambda g(x)\right)$，于是\[h(x)=m\left({\log_4}(4^x+1)+\lambda(x-1)\right),\]即\[h(x)=m{\log_4}\left(4^{(\lambda+1)x}+4^{\lambda x}\right)-m\lambda,\]该函数为偶函数，因此 $\lambda=-\dfrac 12$．由于 $h(x)$ 有最小值，因此 $m>0$，此时\[\begin{split} h(x)&=m{\log_4}\left(4^{\frac 12x}+4^{-\frac 12x}\right)+\dfrac 12m\\<br/>&\geqslant m{\log_4}2+\dfrac 12m\\<br/>&=m,\end{split}\]等号当 $x=0$ 时取得，因此 $h(x)$ 的最小值为 $m$，进而 $m=1$．从而\[h(x)={\log_4}\left(2^x+2^{-x}\right)+\dfrac 12.\] 备注3