题目 对于在区间 $[m,n]$ 上有意义的两个函数 $f(x)$ 与 $g(x)$，如果对任意 $x\in[m,n]$ 均有 $|f(x)-g(x)|\leqslant 1,$ 则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[m,n]$ 上是接近的；否则称 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[m,n]$ 上是非接近的．现有两个函数 $f_1(x)={\log_a}(x-3a)$ 与 $f_2(x)={\log_a}\dfrac1{x-a}$，其中 $a>0$ 且 $a\neq 1 $，给定区间 $D= [a+2,a+3]$． 问题1 若 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$ 在 $D$ 上都有意义，求 $a$ 的取值范围； 答案1 $(0,1)$ 解析1 函数 $f_1(x)$ 的定义域为 $(3a,+\infty)$，函数 $f_2(x)$ 的定义域为 $(a,+\infty)$，因此根据题意，有\[\begin{cases} a+2>3a,\\ a+2>a,\end{cases}\]解得 $a$ 的取值范围是 $(0,1)$． 备注1 问题2 讨论 $f_1(x)$ 与 $f_2(x)$ 在 $D$ 上是否是接近的？ 答案2 当 $a\in\left(0,\dfrac{9-\sqrt{57}}{12}\right]$ 时，$f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 在 $D$ 上是接近的；当 $a\in\left(\dfrac{9-\sqrt{57}}{12},1\right)\cup(1,+\infty)$ 时，$f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 在 $D$ 上是非接近的 解析2 考虑$$f_1(x)-f_2(x)=\log_a(x-3a)(x-a),$$记\[\varphi(x)=(x-3a)(x-a),\]其中 $x\in D$．由于$$|f_1(x)-f_2(x)|\leqslant 1 \Leftrightarrow a\leqslant \varphi(x)\leqslant\dfrac1a, $$而 $\varphi(x)$ 的对称轴为 $x=2a$，又 $2a<a+2$，因此 $\varphi(x)$ 在 $D$ 上单调递增，从而$$\begin{cases} a\leqslant\varphi(a+2),\\ \varphi(a+3)\leqslant\dfrac1a,\end{cases} $$即\[\begin{cases} a\leqslant 4-4a,\\ 9-6a\leqslant \dfrac 1a,\end{cases}\]该不等式解集\[I=\left(0,\dfrac{9-\sqrt{57}}{12}\right],\]因此当 $a\in I$ 时，$f(x)$ 与 $g(x)$ 在给定区间上是接近的；当 $a>0$ 且 $a\ne 1$ 且 $a\notin I$ 时，$f(x)$ 与 $g(x)$ 是非接近的． 备注2