题目 已知 $f(x),g(x)$ 分别是定义在 $\mathbb R$ 上的奇函数和偶函数，且 $f(x)+g(x)=3^x.$ 问题1 求 $f(x)$，$g(x)$； 答案1 $f(x)=\dfrac{3^x-3^{-x}}2$，$g(x)=\dfrac{3^x+3^{-x}}2$ 解析1 根据题意有\[f(-x)+g(-x)=3^{-x},\]于是\[-f(x)+g(x)=3^x,\]进而解得 $f(x)=\dfrac{3^x-3^{-x}}2$，$g(x)=\dfrac{3^x+3^{-x}}2$． 备注1 问题2 若对于任意实数 $t\in[0,1],$ 不等式 $f(2t)+ag(t)<0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围； 答案2 $\left(-\infty,-\dfrac 83\right)$ 解析2 根据题意，有\[\forall t\in [0,1],\dfrac{3^{2t}-3^{-2t}}2+a\cdot \dfrac{3^t+3^{-t}}2<0,\]也即\[\forall t\in [0,1],3^t-3^{-t}+a<0,\]因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac 83\right)$． 备注2 问题3 若存在 $m\in[-2,-1],$ 使得不等式 $af(m)+g(2m)<0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围． 答案3 略 解析3 根据题意，有\[\exists m\in [-2,-1],a\cdot \dfrac{3^m-3^{-m}}2+\dfrac{3^{2m}+3^{-2m}}2<0,\]也即\[\exists t\in \left[-\dfrac{80}9,-\dfrac 83\right],\dfrac 12at+\dfrac {t^2+2}2<0,\]其中\[t=3^m-3^{-m},\]也即\[\exists t\in \left[-\dfrac{80}9,-\dfrac 83\right],a>-\left(t+\dfrac 2t\right),\]因此实数 $a$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{41}{12},+\infty\right)$． 备注3