题目 已知定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $f(x)=\dfrac{2^x+b}{2^x+1}$ 是奇函数． 问题1 求函数 $f(x)$ 的解析式，并说明函数的单调性； 答案1 $f(x)=\dfrac{2^x-1}{2^x+1}$，在 $\mathbb R$ 上单调递增 解析1 定义域为 $\mathbb R$ 的奇函数必然满足 $f(0)=0$，因此 $b=-1$．而当 $b=-1$ 时，有\[f(x)+f(-x)=\dfrac{2^x-1}{2^x+1}+\dfrac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1}=\dfrac{2^x-1}{2^x+1}+\dfrac{1-2^x}{1+2^x}=0,\]因此函数 $f(x)=\dfrac{2^x-1}{2^x+1}$．又\[f(x)=1-\dfrac{2}{2^x+1},\]于是 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的单调递增函数． 备注1 问题2 解不等式 $f(2x+1)+f(x)<0$． 答案2 略 解析2 根据题意，原不等式等价于\[f(2x+1)<-f(x),\]即\[f(2x+1)<f(-x),\]也即\[2x+1<-x,\]解得不等式的解集为 $\left(-\infty,-\dfrac 13\right)$． 备注2