题目 已知函数 $g(x)=x+\dfrac2x-2.$ 问题1 证明：函数 $g(x)$ 在 $[\sqrt2,+\infty)$ 上是增函数； 答案1 略 解析1 设 $x\in \left[\sqrt 2,+\infty\right)$，$\Delta x>0$，则\[\begin{split} \dfrac{f(x+\Delta x)}{\Delta x}&=\dfrac{x+\Delta x+\dfrac 2{x+\Delta x}-2-\left(x+\dfrac 2x-2\right)}{\Delta x}\\<br/>&=1-\dfrac{2}{x(x+\Delta x)}\\<br/>&>1-\dfrac 2{x^2}\\<br/>&\geqslant 0,\end{split}\]因此函数 $g(x)$ 在 $\left[\sqrt 2,+\infty\right)$ 上是增函数． 备注1 问题2 若不等式 $g(2^x)-k\cdot2^x\geqslant 0$ 在 $x\in[-1,1]$ 上有解，求实数 $k$ 的取值范围． 答案2 $(-\infty,5]$ 解析2 略 备注2 江苏省南京外国语学校仙林分校 $16-17$ 学年高一上学期期中考试数学试卷第 $20$ 题<br/>原不等式即等价于 $\exists k\in\mathbb R$，使得$$k\leqslant\dfrac{g(2^x)}{2^x}=1+\dfrac2{(2^x)^2}-\dfrac2{2^x}=1+2t^2-2t,t=\dfrac1{2^x}\in[\dfrac12,2]$$令$$\varphi(t)=2t^2-2t+1,\dfrac12\leqslant t\leqslant 2,$$则仅需 $k\leqslant \varphi(x)_{\mathrm{max}}=5,$ 因此 $k$ 的取值范围是 $(-\infty,5].$