如图，在直三棱柱 $ ABC-A_1B_1C_1 $ 中，$ AB=4$，$AC=BC=3 $，$ D $ 为 $ AB $ 的中点．
【难度】
【出处】
2012年高考重庆卷（文）
【标注】
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求异面直线 $ CC_1 $ 和 $ AB $ 的距离；标注答案略解析因为 $ AC=BC $，$ D $ 为 $ AB $ 的中点，故 $ CD\perp AB $．
又在直三棱柱中，$ CC_1\perp $ 平面 $ ABC $，故 $ CC_1\perp CD $，
所以异面直线 $ CC_1 $ 和 $ AB $ 的距离为 $ CD={\sqrt{BC^2-BD^2}}={\sqrt{5}} $． -
若 $ AB_1\perp A_1C $，求二面角 $ A_1-CD-B_1 $ 的平面角的余弦值．标注答案略解析由 $ CD\perp AB$，$CD\perp BB_1$，$AB\cap BB_1=B $，
故 $ CD\perp $ 平面 $ A_1ABB_1 $，
从而 $ CD\perp DA_1$，$ CD\perp DB_1$，
故 $ \angle A_1DB_1 $ 为所求的二面角 $ A_1-CD-B_1 $ 的平面角．
因为 $ A_1D $ 是 $ A_1C $ 在平面 $ A_1ABB_1 $ 上的射影，
又已知 $ AB_1\perp A_1C $，由三垂线定理的逆定理得 $ AB_1\perp A_1D $，
从而 $ \angle A_1AB_1$，$ \angle A_1DA $ 都与 $ \angle B_1AB $ 互余，
因此\[ \angle A_1AB_1=\angle A_1DA ,\]所以 $ {\mathrm{Rt}}\triangle A_1AD\backsim {\mathrm{Rt}}\triangle B_1A_1A $．因此\[ {\dfrac{AA_1}{AD}}={\dfrac{A_1B_1}{AA_1}} ,\]得\[ AA^2_1=AD\cdot A_1B_1=8 ,\]从而\[\begin{split}A_1D&={\sqrt{AA^2_1+AD^2}}=2{\sqrt{3}} ,\\ B_1D&=A_1D=2{\sqrt{3}},\end{split} \]所以在 $ \triangle A_1DB_1 $ 中，由余弦定理得\[ \cos \angle A_1DB_1=\dfrac{{A_1D}^2+B_1D^2-A_1B^2_1}{2\cdot A_1D \cdot B_1D}=\dfrac{1}{3}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
