已知 $\sin A+\sin B=\sin C$，$\cos A+\cos B=\cos C$，求 $\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 32$
【解析】
两式平方相加可得\[\cos(A-B)=-\dfrac 12,\]两式平方相减可得\[2\cos(A+B)\cos (A-B)+2\cos (A+B)=\cos 2C,\]于是\[\cos(A+B)=\cos 2C,\]于是\[\begin{split} \sin^2A+\sin^2B+\sin^2C&=\dfrac{1-\cos 2A}2+\dfrac{1-\cos 2B}2+\dfrac{1-\cos 2C}2\\
&=1-\cos(A+B)\cos(A-B)+\dfrac{1-\cos 2C}2,\\
&=\dfrac 32.\end{split}\]
&=1-\cos(A+B)\cos(A-B)+\dfrac{1-\cos 2C}2,\\
&=\dfrac 32.\end{split}\]
答案
解析
备注
