已知 $x,y\in (0,1)$，求证：$x^y+y^x>1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由于 $\dfrac yx>0$，$\dfrac 1x,\dfrac 1y>1$，于是由伯努利不等式$$x^y=\dfrac{1}{\left[1+\left(\dfrac 1x-1\right)\right]^y}>\dfrac{1}{1+y\left(\dfrac 1x-1\right)}=\dfrac{x}{x+y-xy}>\dfrac x{x+y},$$同理，有 $y^x>\dfrac{y}{x+y}$，因此原不等式得证．事实上，原不等式可以加强为$$x^y+y^x>\dfrac{x+y}{x+y-xy}>1+xy.$$
答案
解析
备注
