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若实数 $a,b\in(0,1),$ 求证：$a^b+b^a>1.$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
伯努利不等式$$\forall x\geqslant-1,0\leqslant a\leqslant 1,(1+x)^a\leqslant 1+ax.$$由题$$\begin{split} a^b+b^a&=\dfrac1{\left(\dfrac1a\right)^b}+\dfrac1{\left(\dfrac1b\right)^a}\\&=\dfrac1{\left(1+\dfrac1a-1\right)^b}+\dfrac1{\left(1+\dfrac1b-1\right)^a}\\&>\dfrac1{1+b\cdot\left(\dfrac1a-1\right)}+\dfrac1{1+a\cdot\left(\dfrac1b-1\right)}\\&=\dfrac{a+b}{a+b-ab}\\&>1.\end{split}$$证毕．
答案 解析 备注
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