题目 已知数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 满足 $a_1=b_1=6$，$a_2=b_2=4$，$a_3=b_3=3$，当 $n\geqslant 1$ 时，若数列 $\{a_{n+1}-a_n\}$ 为等差数列，数列 $\{b_n-2\}$ 为等比数列． 问题1 求数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=\dfrac{n^2-7n+18}{2}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$；$b_n=2+2^{3-n}$，$n\in\mathbb N^{\ast}$ 解析1 依题意可得\[a_2-a_1=-2,a_3-a_2=-1,\]所以 $\{a_{n+1}-a_n\}$ 的首项为 $-2$，公差为 $1$，故$$a_{n+1}-a_n=-2+n-1=n-3,$$累加可得\[a_n=\dfrac{n^2-7n+18}{2},n\in\mathbb N^{\ast}.\]同理有\[b_1-2=4,b_2-2=2,\]所以 $\{b_n-2\}$ 的首项为 $4$，公比为 $\dfrac 12$，故$$b_n-2=4\cdot \left(\dfrac 12\right)^{n-1},$$所以\[b_n=2+2^{3-n},n\in\mathbb N^{\ast}.\] 备注1 问题2 设 $f(n)=a_n-b_n$，$n\in \mathbb N^{\ast}$，当 $n\geqslant 4$ 时，求 $f(n)$ 的最小值． 答案2 $\dfrac 12$ 解析2 因为 $f(n)=a_n-b_n$，$f(n+1)=a_{n+1}-b_{n+1}$，所以\[\begin{split}f(n+1)-f(n)&=(a_{n+1}-a_n)-(b_{n+1}-b_n)\\&=n-3+\left(\dfrac 12\right)^{n-2}.\end{split}\]因为 $n\geqslant 4,n\in \mathbb N^{\ast}$，所以$$f(n+1)>f(n).$$所以当 $n\geqslant 4$ 时，$\{f(n)\}$ 单调递增，故 $f(n)_{\min}=f(4)=\dfrac 12$． 备注2