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椭圆 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left(a > b > 0\right)$ 的右焦点 $F$，其右准线与 $x$ 轴的交点为 $ A $，在椭圆上存在点 $ P $ 满足线段 $ AP $ 的垂直平分线过点 $F$，则椭圆离心率的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left( {0,\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]$
B: $\left( {0,\dfrac{1}{2}} \right]$
C: $\left[ {\sqrt 2 - 1,1} \right)$
D: $\left[ {\dfrac{1}{2},1} \right)$
【难度】
【出处】
2010年高考四川卷（文）
【标注】
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的几何量
    >
    椭圆的基本量
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的几何量
    >
    椭圆的焦半径公式I
【答案】
D
【解析】
根据椭圆的焦半径公式 I，可知 $PF$ 的取值范围是 $[a-c,a+c]$，于是\[a-c\leqslant \dfrac {a^2}c-c\leqslant a+c,\]即\[1-e\leqslant \dfrac 1e-e\leqslant 1+e,\]解得\[\dfrac 12\leqslant e<1.\]
题目 答案 解析 备注
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