已知椭圆 $C$ 的中心是坐标原点 $O$，焦点在坐标轴上，直线 $y=x+1$ 与椭圆交于点 $M$ 和 $N$，且 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=0$，$\left|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}\right|=\dfrac{\sqrt{26}}{3}$．求：
【难度】
【出处】
2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
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椭圆 $C$ 的方程；标注答案略解析设椭圆方程为$$mx^2+ny^2=1,$$其中 $m,n>0$，且 $m\ne n$，与直线方程联立，得$$(m+n)x^2+2nx+(n-1)=0,$$设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，得$$\begin{cases}\Delta=4(m+n-mn)>0,\\ x_1+x_2=-\dfrac{2n}{m+n},\\x_1x_2=\dfrac{n-1}{m+n},\end{cases}$$根据题意，有$$\begin{cases}\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=x_1x_2+y_1y_2=0,\\ \left|\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}\right|=\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt2|x_1-x_2|=\dfrac{\sqrt{26}}{3},\end{cases}$$整理得$$\begin{cases}m+n=2,\\mn=\dfrac59,\end{cases}$$因此$$(m,n)=\left(\dfrac53,\dfrac13\right)\lor \left(\dfrac13,\dfrac53\right),$$所以椭圆方程为 $\dfrac53x^2+\dfrac13y^2=1$ 或 $\dfrac13x^2+\dfrac53y^2=1$．
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顶点在椭圆 $C$ 上且各边平行于坐标轴的矩形的面积的最大值．标注答案略解析由椭圆的对称性，不妨以 $\dfrac13x^2+\dfrac53y^2=1$ 为例研究，设第一象限内的顶点为 $(x,y)$，则\[\begin{split}S&=4xy\\&=\dfrac{6}{\sqrt5}\left(2\cdot\dfrac{x}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt5}{\sqrt3}y\right)\\&\leqslant\dfrac{6}{\sqrt5}\left(\dfrac{x^2}{3}+\dfrac53y^2\right)\\&=\dfrac{6\sqrt5}{5}.\end{split}\]当且仅当 $x=\dfrac{\sqrt6}{2}$ 时，取得等号，因此面积的最大值为 $\dfrac{6\sqrt5}{5}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
