点 $A(0,2)$ 是圆 $x^2+y^2=16$ 内的定点，$B,C$ 是这个圆上的两个动点，若 $BA\perp CA$，求 $BC$ 中点 $M$ 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$x^2+(y-1)^2=7$
【解析】
以 $AB,AC$ 为邻边作出矩形 $ABDC$，连接 $AD,OA,OB,OC,OD$，如图．
根据矩形的性质，有$$OA^2+OD^2=OB^2+OC^2,$$结合题意知 $ OA=2,OB=OC=2 $，因此$$OD=2\sqrt7,$$故点 $M$ 的轨迹是以 $OA$ 中点为圆心，$\dfrac{OD}{2}$ 为半径的圆，方程为$$x^2+(y-1)^2=7.$$
根据矩形的性质，有$$OA^2+OD^2=OB^2+OC^2,$$结合题意知 $ OA=2,OB=OC=2 $，因此$$OD=2\sqrt7,$$故点 $M$ 的轨迹是以 $OA$ 中点为圆心，$\dfrac{OD}{2}$ 为半径的圆，方程为$$x^2+(y-1)^2=7.$$
答案
解析
备注
