等边三角形 $\triangle ABC$ 的边长为 $600$．点 $P$，$Q$ 在平面 $ABC$ 外，并且分别位于平面 $ABC$ 的两侧．$PA=PB=PC$，$QA=QB=QC$，二面角 $P-AB-Q$ 的大小为 $120^{\circ}$．若空间中存在点 $O$，到点 $A,B,C,P,Q$ 的距离均等于 $d$，求 $d$ 的值．
【难度】
【出处】
2016年第34届美国数学邀请赛Ⅱ（AIMEⅡ）
【标注】
【答案】
$450$
【解析】
设 $G$ 是 $\triangle ABC$ 的中心，$M$ 是线段 $AB$ 的中点，则 $\angle PAQ=90^{\circ},\angle PMQ=120^{\circ}$．设 $GM=a=100\sqrt{3},PM=x,QM=y$．
在 $\triangle PMQ$ 中，有\[
PQ^2=x^2+y^2+xy,
\]在 $\triangle PAQ$ 中，有\[
PQ^2=AP^2+AQ^2=2AM^2+PM^2+QM^2=6a^2+x^2+y^2,
\]故\[
xy=6a^2.
\]在 $\triangle PMQ$ 中，由\[
2S_{\triangle PMQ}=xy\sin \angle PMQ=PQ\cdot GM,
\]可知 $PQ=3\sqrt{3}a=900 $．所以\[
d=\dfrac12 PQ=450.
\]
在 $\triangle PMQ$ 中，有\[PQ^2=x^2+y^2+xy,
\]在 $\triangle PAQ$ 中，有\[
PQ^2=AP^2+AQ^2=2AM^2+PM^2+QM^2=6a^2+x^2+y^2,
\]故\[
xy=6a^2.
\]在 $\triangle PMQ$ 中，由\[
2S_{\triangle PMQ}=xy\sin \angle PMQ=PQ\cdot GM,
\]可知 $PQ=3\sqrt{3}a=900 $．所以\[
d=\dfrac12 PQ=450.
\]
答案
解析
备注
