题目 已知圆 $M$ 的圆心在直线 $2x-y-6=0$ 上，且过点 $A(1,2)$，$B(4,-1)$． 问题1 求圆 $M$ 的方程； 答案1 $(x-4)^2+(y-2)^2=9$ 解析1 设圆 $M$ 的方程为\[(x-a)^2+(y-2a+6)^2=r^2,\]则\[(a-1)^2+(2a-8)^2=(a-4)^2+(2a-5)^2=r^2,\]解得 $a=4$，$r=3$，于是圆 $M$ 的方程为\[(x-4)^2+(y-2)^2=9.\] 备注1 由于圆 $M$ 的圆心在直线$$2x-y-6=0$$上，因此可设 $M(a,2a-6)$，又 $M$ 在 $AB$ 的中垂线$$y=x-2$$上，于是有$$2a-6=a-2,$$解得 $a=4$，因此圆心 $M(4,2)$，进而可得圆 $M$ 的半径为 $3$，故圆 $M$ 的方程为$$M:(x-4)^2+(x-2)^2=9.$$ 问题2 设 $P$ 为圆 $M$ 上任一点，过点 $P$ 向圆 $O:x^2+y^2=1$ 引切线，切点为 $Q$，试探究：平面内是否存在一定点 $ R $，使得 $\dfrac{PQ}{PR} $ 为定值？若存在，求出 $ R$ 的坐标；若不存在，请说明理由． 答案2 存在，点 $R(2,1)$ 或 $\left(\dfrac25,\dfrac15\right)$ 解析2 如图．<img src="/static/images/614a15f3697fe81b7f7775ed89e7a89b.png" class="img-responsive" />根据题意，有\[\dfrac{PQ^2}{PR^2}=\dfrac{PO^2-1}{PR^2}\]为定值．下面给出引理．<br/><sol>引理</sol>设 $O(0,0)$，$A(a,0)$，$\lambda$ 是不为 $1$ 的常数，则满足\[PO^2-\lambda\cdot PA^2=r^2\]的点 $P$ 的轨迹是以 $\left(\dfrac{\lambda a}{\lambda -1},0\right)$ 为圆心，$\sqrt{\dfrac{(1-\lambda)r^2+\lambda a^2}{(\lambda -1)^2}} $ 为半径的圆．<br/><sol>证明</sol>设 $ P(x,y)$，则有\[x^2+y^2-\lambda \cdot [(x-a)^2+y^2]=r^2,\]即\[(1-\lambda)x^2+(1-\lambda)y^2+2\lambda ax-\lambda a^2-r^2=0,\]也即\[\left(x-\dfrac{\lambda a}{\lambda-1}\right)^2+y^2=\dfrac{(1-\lambda)r^2+\lambda a^2}{(\lambda-1)^2},\]因此原命题得证．<br/>根据图形的对称性易知若符合题意的定点 $ R $ 存在，必然在直线 $OM$ 上． 备注2