已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），过左焦点 $F$，并且斜率为 $1$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点．若 $\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{9+4\sqrt2}{7}$，则椭圆的离心率等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
记 $c$ 为椭圆 $C$ 的半焦距，$\theta$ 为直线 $AB$ 的倾斜角，根据椭圆的焦半径公式II，有$$\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{\dfrac{b^2}{a-c\cdot\cos\theta}}{\dfrac{b^2}{a+c\cdot\cos\theta}},$$其中 $\theta=45^\circ$，因此整理得$$\dfrac{\sqrt2a+c}{\sqrt2a-c}=\dfrac{9+4\sqrt2}{7},$$进而由合分比定理可得\[\dfrac{2c}{2\sqrt 2 a}=\dfrac{2+4\sqrt 2}{16+4\sqrt 2},\]解得\[\dfrac ca=\dfrac 12.\]
题目
答案
解析
备注
