已知点 $P(4,4)$，圆 $C:(x-m)^2+y^2=5$（$m<3$）与椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）有一个公共点 $A(3,1)$，$F_1,F_2$ 分别是椭圆的左右焦点，直线 $PF_1$ 与圆 $C$ 相切．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $m$ 的值与椭圆 $E$ 的方程；标注答案$m=1$，$E:\dfrac{x^2}{18}+\dfrac{y^2}{2}=1$解析圆 $C$ 过点 $A(3,1)$，从而\[(3-m)^2+1=5,\]解得 $m=1$．点 $P(4,4)$ 对圆 $C$ 的双切线方程为\[\left[(4-1)(x-1)+4y-5\right]^2-\left[(4-1)^2+4^2-5\right]\cdot\left[(x-1)^2+y^2-5\right]=0,\]即\[(3x+4y-8)^2-20(x^2+y^2-2x-4)=0,\]该曲线的横截距满足\[(3x-8)^2-20(x^2-2x-4)=0,\]即\[(11x-36)(x+4)=0,\]解得 $x=-4$，因此 $F_1(-4,0)$，进而\[E:\dfrac{x^2}{18}+\dfrac{y^2}2=1.\]
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设 $Q$ 为椭圆 $E$ 上的一个动点，求 $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}$ 的取值范围．标注答案$[-12,0]$解析根据题意，设 $Q\left(3\sqrt2\cos\theta,\sqrt2\sin\theta\right)$ 其中 $\theta\in[0,2\pi)$，于是\[\begin{split} \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}&=(1,3)\cdot \left(3\sqrt 2\cos\theta-3,\sqrt 2\sin\theta-1\right)\\
&=3\sqrt 2\sin\theta+3\sqrt 2\cos\theta-6\\
&=6\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}4\right)-6,\end{split}\]因此 $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}$ 的取值范围为 $[-12,0]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
