设椭圆 $E$ 的方程 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(a,0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0,b)$，点 $M$ 在线段 $AB$ 上，满足 $BM=2MA$，直线 $OM$ 的斜率为 $\dfrac{\sqrt3}{4}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $E$ 的离心率 $e$；标注答案$\dfrac12$解析根据定比分点坐标公式，有 $M\left(\dfrac 23a,\dfrac 13b\right)$，于是\[\dfrac{\dfrac 13b}{\dfrac 23a}=\dfrac{\sqrt 3}4,\]进而\[\dfrac ba=\dfrac{\sqrt 3}2,\]进而\[e=\sqrt{1-\left(\dfrac ba\right)^2}=\dfrac 12.\]
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若 $b=\sqrt3$，直线 $l$ 平行于 $AB$，且在此椭圆上存在不同两点关于直线 $l$ 对称，求直线 $l$ 在 $y$ 轴上截距的取值范围．标注答案$\left(-\dfrac{\sqrt3}5,\dfrac{\sqrt3}5\right)$解析根据题意，有\[E:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1,\]进而直线 $l$ 的斜率为 $-\dfrac{\sqrt 3}2$．记椭圆上关于直线 $l$ 对称的两点分别为 $P,Q$，它们的中点为 $N(m,n)$，则直线 $PQ$ 的斜率为 $\dfrac{2}{\sqrt 3}$，根据椭圆的垂径定理，有\[\dfrac nm\cdot \dfrac{2}{\sqrt 3}=-\dfrac 34,\]且\[\dfrac{m^2}{4}+\dfrac{n^2}{3}<1.\]此时直线 $l$ 的截距为\[-\dfrac{\sqrt 3}2(0-m)+n=\dfrac{\sqrt 3}2m+n.\]考虑到\[\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt 3}2m+n\right)^2}{\dfrac{m^2}4+\dfrac{n^2}3}=\dfrac{\left(\dfrac{\sqrt 3}2-\dfrac{3\sqrt 3}8\right)^2}{\dfrac 14+\dfrac 13\cdot \left(-\dfrac{3\sqrt 3}8\right)^2}=\dfrac{3}{25},\]于是可得所求截距的取值范围是 $\left(-\dfrac{\sqrt3}5,\dfrac{\sqrt3}5\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
