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已知椭圆 $G:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $A(0,5)$，$B(-8,-3)$，$C,D$ 在该椭圆上，直线 $CD$ 过原点 $O$，且在线段 $AB$ 的右下侧．
【难度】
【出处】
无
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    圆锥曲线的弦长与面积问题
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  1. 求椭圆 $G$ 的方程；
    标注
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    答案
    $\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{25}=1$
    解析
    显然椭圆短半轴长 $b=5$，故$$G:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{5^2}=1,$$再将 $B(-8,-3)$ 代入上式可得 $a=10$，于是椭圆 $G$ 的方程为$$\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{25}=1.$$
  2. 求四边形 $ABCD$ 的面积的最大值．
    标注
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    答案
    $10\sqrt 5+20$
    解析
    设 $C(-m,-n)$，$D(m,n)$，则 $m$ 的取值范围是 $(0,8)$，且\[\begin{split} \overrightarrow{CA}&=(m,n+5),\\ \overrightarrow{BD}&=(m+8,n+3),\end{split}\]根据面积坐标公式，四边形 $ABCD$ 的面积为\[\begin{split} S&=\dfrac 12|m(n+3)-(m+8)(n+5)|\\
    &=m+4n+20\\
    &\leqslant \sqrt{10^2+20^2}\cdot \sqrt{\dfrac{m^2}{100}+\dfrac{n^2}{25}}+20\\
    &\leqslant 10\sqrt 5+20,\end{split}\]等号当 $m=n$ 时取得，因此所求面积的最大值为 $10\sqrt 5+20$．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
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